Wprowadzenie
Logarytmy są kluczowym narzędziem w matematyce, które pomagają w rozwiązywaniu równań i analizie danych. W tym artykule obliczymy wartość wyrażenia ( \log_{5} 0.04 ), wykorzystując różne właściwości logarytmów. Przeanalizujemy każdy krok, aby zrozumieć, jak dojść do ostatecznego wyniku.
| Cecha | Szczegół |
|---|---|
| Typ | Logarytm |
| Podstawa | 5 |
| Liczba | 0.04 |
| Ostateczna wartość | -1.139 |
Krok 1: Przekształcenie liczby
Pierwszym krokiem w obliczeniach jest przekształcenie liczby 0.04 na formę, która będzie bardziej wygodna do obliczeń. Możemy zapisać:
[ 0.04 = 4 \times 10^{-2} ]
Krok 2: Zastosowanie własności logarytmów
Zastosujemy własność logarytmów, która mówi, że logarytm iloczynu można rozdzielić na sumę logarytmów:
[ \log{a} (b \times c) = \log{a} b + \log_{a} c ]
W naszym przypadku:
[ \log{5} 0.04 = \log{5} (4 \times 10^{-2}) = \log{5} 4 + \log{5} 10^{-2} ]
Krok 3: Obliczenie logarytmu
Teraz możemy obliczyć logarytm:
[ \log{5} 0.04 = \log{5} 4 - 2 \log_{5} 10 ]
Krok 4: Zmiana podstawy logarytmu
Aby obliczyć logarytmy w podstawie 5, użyjemy wzoru na zmianę podstawy:
[ \log_{5} x = \frac{\log x}{\log 5} ]
Dla ( x = 4 ) i ( x = 10 ):
[ \log{5} 4 = \frac{\log 4}{\log 5} ] [ \log{5} 10 = \frac{\log 10}{\log 5} ]
Krok 5: Wstawienie wartości
Podstawiając wartości do równania, otrzymujemy:
[ \log_{5} 0.04 = \frac{\log 4}{\log 5} - 2 \times \frac{\log 10}{\log 5} ]
Używając logarytmów dziesiętnych, gdzie ( \log 10 = 1 ):
[ \approx \frac{\log 4}{\log 5} - 2 ]
Dla przybliżonych wartości ( \log 4 \approx 0.602 ) i ( \log 5 \approx 0.699 ):
[ \approx \frac{0.602}{0.699} - 2 \approx 0.861 - 2 = -1.139 ]
Podsumowanie
Ostatecznie wartość wyrażenia ( \log_{5} 0.04 ) wynosi około -1.139. Logarytmy są niezwykle przydatne w wielu dziedzinach matematyki i nauki, a ich zrozumienie może znacznie ułatwić rozwiązywanie bardziej złożonych problemów.
Cytowane źródła
